公平粉蛋糕

假设

1. N个人分蛋糕，每个人都认为自己拿到的蛋糕不少于N分之一。
2. 每个参与分蛋糕的人都绝对理性，无私下结盟协商等现象。
3. 每个人对于蛋糕有不同的喜好，所以需要拿到自认为的不少于N分支一的那一块。（即A认为自己拿到了三分之二，B也认为自己拿到了三分之二，这种情况是正常的，因为A和B对于蛋糕的喜好部分不一样）
4. 每个人都认为自己拿到的和别人一样或者比别人好，那这种分发就不存在有人嫉妒。反之则认为存在有人嫉妒他人。

2人分蛋糕

A和B 2人分蛋糕，由A先切蛋糕，然后由B先选择蛋糕。

• 首先A会将蛋糕平分切成两块（A自己认为）。因为如果一块大一块小的话，B就会选择大的，那A自己就只能拿小的那块了。为了避免这种情况，A会切成自己认为利益一样大小的两块。
• B会根据A切分后的蛋糕得出自己心里认为的份额大小（很有可能和A认为的不一样），从而选择交大的一块（2/3）。
• A会得到剩下的一块（1/2）

A认为自己拿到了1/2的份额（不少于二分之一），而B也拿到了自己认为剩下的1/2的份额（没有比A多），所以是公平无嫉妒的。
B认为自己拿到了2/3的份额（不少于二分之一），而A拿到了1/3的份额（没有比B多），所以是公平无嫉妒的。

3人分蛋糕

存在嫉妒但简单的分法

A、B、C 3人分蛋糕。将刀从蛋糕左侧移向蛋糕右侧，当3人认为左侧蛋糕已达到自己认为的三分之一时喊停。左侧的蛋糕归第一个喊停的人（假设为A）。

由于第一个喊停的是A，所以在B和C看来，左侧蛋糕并未到达自己认为的三分之一。

• A是否会故意不喊呢？显然是不会的，因为如果在到三分之一的时候A不喊停，那就面临被B和C喊停的情况。真的发生这样的事情，右侧的蛋糕对于A来说就小于2/3了，按照接下来公平的切分方法，会导致A拿不到自己认为的三分之一份额。

接着刀继续移向蛋糕右侧，B和C在达到剩下部分一半的时候喊停。中间这块归先喊停的人（假设先喊停的是B），最后一块归C 。

由于B先喊停，所以对于C来说中间这块并没有达到剩下的一半。

可以看出来在C看来第一块没有达到三分之一，第二块没有达到剩下的二分之一，所以自己拿到的肯定超过三分之一，并且是三块中最大的。C会认为是公平无嫉妒的。
在B看来，第一块没有到三分之一，剩下的两块是一样大小的。所以B拿到的超过三分之一，并且和C拿到的一样多，超过A拿到的。B会认为是公平无嫉妒的。
在A看来，自己拿到的是三分之一，符合了公平。但是由于第二块、第三块A并没有参与喊停，由B和C分出的2块蛋糕，如果在A看来一块大，一块小，那就存在有人比自己拿的多了。所以A会认为是公平的，但存在嫉妒。

复杂的无嫉妒分法

1 由A平均切成三块，所以A会认为三块一样大小。
2 由B和C选择最大的一块拿走。
3-1 如果B和C选择的不一样，那最后剩下的给A。

在A看来三块都一样，不存在比自己多拿的人，所以是公平无嫉妒的。
在B和C看来，自己拿到了最大的一块，所以也是公平无嫉妒的。

3-2-1 如果B和C选择了同一块蛋糕，就有B将这块蛋糕切掉一部分，使得这块蛋糕和第二大的蛋糕一样大小。
假设B和C都认为Z是最大的，都选Z，那由B将Z切成Z-1和Z-2，其中Z-1和Y一样大小（B认为）。

3-2-2 由C进行选择，规定如果C没有选择Z-1，那B必须选择Z-1。（由于这个规定，B在切蛋糕时必须把Z-1和第二大的切成一样大小，否则自己就会拿到小的）

在C看来自己是最先选择的，所以一定拿最大的，没有人比他大，所以无嫉妒。
在B看来有2块一样大小的，无论C怎么选，自己也是拿到最大的那块，所以无嫉妒。
在A看来，Z本身是三分之一大小，现在Z-1小于三分之一，并且要么C拿要么B拿，所以肯定不会有人比自己拿的大，所以无嫉妒的。

最后接着分Z-2

3-2-3-1 如果C选择Z-1，那就由B将Z-2切成三份，由C->A>B的顺序选择。
3-2-3-2 如果B选择Z-1，那就由C将Z-2切成三份，由B->A->C的顺序选择。

在A看来，Z-1和Z-2加起来才三分之一，现在Z-2进行了切分，并且在自己之前选择的人是拿了Z-1的，所以先选择的人无论怎么选都不会超过三分之一，接着由自己选，所以自己拿到的肯定是自己认为最大的，所以无嫉妒。
最后选择的人由于是自己切的，所以会认为三块是一样大小，也是无嫉妒的。
如果是C->A->B的顺序，在C看来2次都是自己先选择，自己拿的一定是最大的，肯定是无嫉妒的。
如果是B->A>C的顺序，在B看来第一次选择是自己切的Z-1，是最大的，第二次是自己最先选择，所以自己拿的肯定是最大的，是无嫉妒的。

由此三个人就能公平无嫉妒的分蛋糕了。